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[主观题]
设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.
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第1题
设A为nXm实矩阵，且r(A)-m (1)ATA为m阶正定矩阵; (2)AAT为n阶半正定矩阵。
设A为nXm实矩阵，且r（A)-m（1)ATA为m阶正定矩阵; （2)AAT为n阶半正定矩阵。
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第2题
设A是s×n实矩阵。证明：(1)r(ATA)=r(A)。(2)对任意s维列向量b，线性方程组ATAx=ATb总有解。
设A是s×n实矩阵。证明：（1)r（ATA)=r（A)。（2)对任意s维列向量b，线性方程组ATAx=ATb总有解。
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第3题
已知A为m×n实矩阵，求证:ATA为正定矩阵 秩(A)=n.
已知A为m×n实矩阵，求证:ATA为正定矩阵 秩（A)=n.
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已知A为m×n实矩阵，求证:
ATA为正定矩阵
秩(A)=n.
第4题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B)=n。
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证明：当λ＞0， 矩阵B为正定矩阵。第7题
设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：（i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;（i
设
是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：
(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得
这里λ∈R且λ≠0，1，-1;
(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得
(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得
第8题
设A为m×n实矩阵.证明：对于任何m维实的非零列向量b，非齐次线性方程组ATAx=ATb必有解.
设A为m×n实矩阵.证明：对于任何m维实的非零列向量b，非齐次线性方程组ATAx=ATb必有解.
第10题
设A为m×n实矩阵，E为，n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE＋ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
设A为m×n实矩阵，E为，n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
