题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设f（x1，x2，…，xn)=XTAX是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λ1≤λ2≤…≤λn证明：对证明：n维欧氏空间
证明：n维欧氏空间中任一正交变换都可以表示成一系列镜面反射的乘积．
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第2题
设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，···，n)
设A=（aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是|A|中元素aij的代数余子式（i，j=1，2，···，n)
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，二次型
(1)记X=(x1，x2，···，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，···，xn)的矩阵形式。
(2)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由。
第3题
设A为n阶实对称矩阵，r（A)=n，Aij是A=（αij)n×n中元素αij的代数余子式（i，j=1，2，…，n)，二次型 （1)记X=（x1，x2，…x
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(αij)n×n中元素αij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
(1)记X=(x1，x2，…xn)T，把f(x1，x2,...，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A-1
(2)二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由。
第5题
已知二次型f（x1，x2，x3，…，xn)=xTAx，其中A为n阶实对称阵，下列各命题中正确的是（)。
A.f(x1，x2，x3，…，xn)的标准形是唯一确定的
B.f(x1，x2，x3，…，xn)的规范形是唯一确定的
C.f(x1，x2，x3，…，xn)化为标准形的可逆线性变换是唯一确定的
D.f(x1，x2，x3，…，xn)化为规范形的可逆线性变换是唯一确定的
第7题
设A为n阶方阵(未必是对称的)，x=(x1，x2，…，xn)T，证明：二次型ƒ(x)=xTAx的矩阵为(A+AT)/2。
设A为n阶方阵（未必是对称的)，x=（x1，x2，…，xn)T，证明：二次型ƒ（x)=xTAx的矩阵为（A+AT)/2。
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第8题
设f=xTAx是一个实二次型，有实n维向量x1，x2，使 证明：必有实n维非零向量x0，
设f=xTAx是一个实二次型，有实n维向量x1，x2，使
证明：必有实n维非零向量x0，使
第9题
设f（x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f（x1)＞0，f（x2)＜0.证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f（x0)=0.
设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0.证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0.
第10题
设A为n阶对称矩阵，则A为正定矩阵的充分必要条件是（)。
A.存在n阶矩阵C，使A=CTC
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B.A的行列式|A|＞0
C.对任意的x=(x1，x2，…，xn)T，xi≠0(i=1，2，...，n)，有xTAx＞0
D.存在正交矩阵Q，使得QTAQ=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λi＞0(i=1，2，…，n)
