如果β可以被向量α1，α2，…，αr，线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是α1，α1，…，αr线性无关．

如果α1,α2,…，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。()

已知向量组

(Ⅰ)α1，α2，α3 (Ⅱ)α₁，α₂，α₃，α₄(Ⅲ)α₁，α₂，α₃，α₅如果向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α₁，α₂，α₃，α₄-α₅的秩为4．

量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=2，r(Ⅲ)=3，证明：向量组α₁，α₂，α₃-α₄的秩为3。

设α₁，α₂，…，α_r线性相关，证明：存在不全为零的数t₁，t₂，…，t_r，使对任何向量β都有α₁+t₁β，α₂+t₂β，…，α_r+t_rβ(r≥2)线性相关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)＝r(Ⅱ)＝3，r(Ⅲ)＝4．证明向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：

(i)如果当，那么α₁，α₂，...，α_r线性无关；

(ii)如果α₁，α₂，...，α_r线性无关，而α_r+1不能由α₁，α₂，...，α_r线性表示，那么，α₁，α₂，...，α_r，α_r+1线性无关;

(iii)如果α₁，α₂，...，α_r线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合;

(iv)如果α₁，α₂，...，α_r线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合。

设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_r线性表出．试证：如果α₁，α₂，…，α_r线性无关，则表示式是唯一的．

分析 这是一个证明“唯一性”的命题，证明这类命题，往往采用以下两种方法：一是反证法，假设满足题设的结果不唯一，从而推出矛盾；二是同一法，设满足题设的结果有两个，然后证明这两个相同．