设A=Z＋×Z＋，在A上定义二元关系R如下：〈〈x，y)，〈u，v〉〉∈R当且仅当xv=yu，证明R是一个等价关系．

设A=Z⁺×Z⁺,在A上定义二元关系R如下:当且仅当xv=yu,证明R是一个等价关系.

给定代数结构，且对任意正整数m，在Z₊中定义二元关系R如下：iRj⇔i=j(mod m)。试证：R是中的同余关系。

设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z⁺上的关系，即

则(1)R中有个有序对。

(2)domR=。

(3)R{2，3，4，6}=。

(4){3}在R下的像是。

(5)R°R的集合表达式是。

A.仅是入射

B.仅是满射

C.是双射

D.不是函数

设*为Z⁺上的二元运算，x*y=min(x，y)，即x和y之中较小的数。

(1)求4*6，7*3。

(2)*在Z⁺上是否满足交换律、结合律和幂等律？

(3)求*运算的单位元、零元及Z⁺中所有可逆元素的逆元。

设是Z⁺的3个划分。

则(1)3个划分中划分块最多的是，最少的是。

(2)划分π₁对应的是Z⁺上的，π₂对应的是Z⁺上的，π₃对应的是Z⁺上的。

设A={1，2，3，4}，在A×A上定义二元关系R，

(1)证明：R是A×A上的等价关系。

(2)确定由R引起的对A×A的划分。

设f₁，f₂，f₃，f₄为实数集R到R的函数，且

在R上定义二元关系E_i，则E_i是R上的等价关系，称为f_i导出的等价关系，求商集R/E_i，i=1，2，3，4。