某一个二能级微观体系，其力学量A与H(H不含时)不对易，A有本征值为a1、a2，相应的本征态分别为
其中u1、u2为H的本征态，相应的本征值分别为E1、E2．若t=0时系统初态处于χ1，试求A在t时刻的平均值〈A(t)〉．
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第1题
有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，E2；ψ1，ψ2．设E1＜E2．t≤0时，体系处于状态ψ1，t≥0时，体系受到微扰H'作用，设
H'11=α，H'22=β，H'12=H'21=γ
求t＞0时体系处于ψ2态的概率．
第2题
考虑由三个自旋1/2的可分辨粒子组成的体系，Hamilton量为
H=A(s1·s2+s2·s3+s3·s1) (A为实数) (1)
(a)求体系的能级和简并度；
(b)找一个守恒量完全集，求出其共同本征函数，从而得到一组正交完备的能量本征函数．
第3题
考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系，Hamilton量为
H=As1·s2+B(s1+s2)·s3．
A与B为实常量，找出体系的守恒量，求出体系的能级和简并度．
第4题
由两个自旋1/2粒子组成的体系，置于均匀磁场中，如以磁场方向作为z轴方向，与自旋有关的体系Hamilton量为
H=aσ1z+bσ2z+c0σ1·σ2(1)
其中a、b项来自磁场与粒子内禀磁矩的作用，c0项来自两粒子的相互作用．a、b、c0均为实常数．(对于全同粒子，a=b，非全同粒子，一般a≠b．)试求体系的能级．
第5题
考虑由三个自旋1/2的非全同粒子组成的体系，Hamilton量为
H=As1·s2+-B(s1+a2)·s3(1)
A、B为实常数．试找出体系的守恒量，确定体系的能级和简并度，(取h=1)
第6题
某个二能级体系的哈密顿量为
这里|1＞,|2＞是正交归一基,
是量纲为能量的一个实数.求出它的本征值和归一化的本征矢(用|1＞和|2＞的线性组合).相应于这个基表示
的矩阵H是什么？
第7题
从推广式9.1和式9.2开始,给出多能级体系的含时微扰理论:
在时间t=0时,开始加上微扰H'(t),因此总的哈密顿量是
(a)推广式9.6为
并证明
其中
(b)如果体系开始时处在ψN态,证明(在一级微扰理论中)
及
(c)例如,假设H'是一个常量(在t=0时加上,经过一段时间1后再去掉),作为时间t的函数,求出从N态到M态的跃迁概率(M≠N).
(d)现在假设H'是t的余弦函数:H'=Vcos(
t).作通常的假设.证明只能向EM=EN
h
的能级跃迁,跃迁概率是
(e)假设一个多能级体系处在非相干电磁辐射中.参考教材9.2.3节,证明受激发射的跃迁概率与两能级体系的受激发射概率公式一样(式9.47).
第9题
给定总能量算符H(r，p)，以En、ψn表示其本征值和本征函数．态矢量|ψn〉简记为|n〉．
按照Heisenberg运动方程，力学量算符A(r，p)的时间变化率为
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