设f（x)为二阶可微函数，F（x)为可微函数，证明函数 满足弦振动方程 及初始条件u（x,0 )=f（x),ut=F（X).

设可微函数z=f(x，y)满足方程证明：f(x，y)在极坐标中只是θ的函数。

证明方程

(3.2.1)

的通解可以表示成

(3.2.2)

其中h，a＞0为常数，F,G为任意二阶连续可微函数；并由此求该方程在区域D={(x，t)|-∞＜x＜+∞，t＞0}内的初值问题

u(x，0)=(x)，u_t(x，0)=ψ(x)，-∞＜x＜+∞ (3.2.3)

的解，其中(x)，ψ(x)为已知二阶连续可微函数．

设可微函数z＝f(x，y)满足方程

证明：f(x，y)在极坐标系中只是θ的函数．

设函数f(x)在[a，+∞)上两次可微，f(a)＞0．f'(a)＜0，f"(x)＜0，证明方程f(x)=0在(a，+∞)内有且仅有一个实根．

设函数f(x)在[a，+∞)上两次可微，f(a)＞0．f'(a)＜0，f"(x)＜0，证明方程f(x)=0在(a，+∞)内有且仅有一个实根．

已知可微函数f(x)满足方程，试求函数f(x)

设方程f (x + y + z, x, x + y)=0确定函数z = z (x, y ),其中f为可微函数，求和.