可以按以下步骤证明矩阵的乘法满足结合律。
(i)设B=(bij)是一个nxp矩阵，令
是B的第j列，j=1，2，...，p，又设
是任意一个px1矩阵。证明：
(ii)设A是一个mxn矩阵，利用(i)及习题2的结果，证明：A(Bξ)=(AB)ξ。
(iii)设C是一个ρxq矩阵，利用(ii)证明：A(BC)=(AB)C。
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第1题
设A是一个nxn矩阵，
都是nx1矩阵，用记号
表示以β代替A的第i列后所得到的nxn矩阵。
(i)证明线性方程组Aξ=β可以改写成
I是n阶单位矩阵。
(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默法则。
第2题
令Eij是第i行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵，A=(aij)n*n,求（1）求EijEkl;（2）证明：如果AEij=EijA,那么k不等于i时,aki=0,k不等于j时,ajk=0且aii=ajj；（3）证明；如果矩阵A与所有的n阶矩阵都可交换,那么,A一定是数量阵,即A=aE
第3题
设A为3×3矩阵，|A|=-2，把A按列分块为A=(A1，A2，A3)，其中Aj(j=1，2，3)为A的第j列．求：
第5题
A.构造字母表{a,b,c,d,..i,k,..,z｝的一个置换。其中，j当作i
B.构造字母表{1,2,…,25｝的一个置换
C.将构造的置换按行排列成一个5*5的矩阵
D.将构造的置换按列排列成一个5*5的矩阵
第6题
， 可以按列分解为两个对称子矩阵：
所以此失真矩阵为按列划分的准对称失真矩阵。(1) 证明如果离散信源的失真矩阵是列准对称失真矩阵，且输入符号是等概率的，那通过与失真矩阵具有同样对称性且满足失真约束的试验信道可以达到R(D)。
(2)设无记忆信源X，符号集A=(0,1,2,3}，符号等概率。试验信道输出集合Y的号集B={0, 1,2,3,4,5,6}，且失真函数定义为
证明，R(D)函数如图9.1所示。
第8题
设A为三阶矩阵，且detA=-2，若将A按列分块为A=(A1，A2，A3)，其中Aj为A的第j列(j=1，2，3)，求下列行列式．
第9题
设A为有向图的邻接矩阵，定义：
。试证明：矩阵A”的第i行第j列元素的值等于从顶点i到j的长度为n的路径数目。
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