本题要讨论与习题11.44所对应的离散时间系统的方法。具体而言，离散时间奈奎斯特判据可以推广到

允许C(z)H(z)在单位圆上有极点的情况。考虑一个离散时间反馈系统，其

在这种情况下，将C(z)H(z)在其上求值的围线修改成如图11-46(a)所示。

(a)证明：，其中z=e^j2π-是小的半圆与单位圆相交于实轴下面的点，而z=e^j0+是相应的在实轴上面的点。

(b)利用(a)的结果，再结合式(P11.48-1)，证实：图11-48(b)是当ω以逆时针方向从0⁺变化到2π^-时，C(z)H(z)沿围线z=e^jω部分的准确图形。特别是，要证明G(e^jω)H(e^jω)的角度变化是如图所指出的。

(c)求出使G(e^jω)H(e^jω)=-π时的ω值，并证明在这一点上有|G(e^jω)H(e^jω)|=1。

(d)接下来考虑沿着z=1附近的小半圆上G(z)H(z)的图。注意到，当ε→0时，G(z)H(z)的模沿这条围线趋于无穷大。证明：当ε→0时，位于z=0的极点对沿该半圆的G(z)H(z)的贡献为零;然后证明，当ε→0时，G(z)H(z)=-θ，其中θ由图11-48(a)所定义。

于是，当θ以逆时针方向从-π/2到+π2变化时，G(z)H(z)就以顺时针方向从+π/2变化到-π/2，其结果是图11-48(c)所示的完整奈奎斯特图。

(e)利用该奈奎斯特图求出使闭环反馈系统稳定的K值范围。

(f)依照在(a)，(b)和(d)中所列步骤，画出下列每种情况的奈奎斯特图。

对上列每种情况，利用奈奎斯特判据，确定使闭环系统稳定的K值范围(如果存在)。并且用另一种方法(根轨迹法或作为K的函数直接计算闭环极点的方法)来对所得的奈奎斯特图的正确性给出部分校核。

(g)对于重做(f)。在这种情况下，有两个极点在单位圆上，因此必须围绕每一个极点这样来修改围线;包含一个延伸到单位圆外的无限小半圆，借此把极点置于围线的里面。