设f（u)连续，L为xOy平面上分段光滑的闭曲线，证明:.

设u(x，y)，v(x，y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线．证明：

设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为z=f(x,y),曲线L在XY面上的投影曲线为l，函数P(x,y,z)在L上连续，证明

设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分

的值恒为同一常数.

(I)证明:对右半平面(x＞0)内的任意分段光滑简单闭曲线1,都有

(II)求函数φ(y)的表达式(之一).

证明:若(c)为平面上分段光滑的简单闭曲线,e为任意方向,则

式中n为(c)的法向量,方向朝外.

设有向光滑曲线弧Γ在xOy面上的投影曲线为L(L的正向与Γ的正向相应)，且Γ在光滑曲面z=φ(x，y)上，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)连续，证明

设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:

其中、世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称维拉普拉斯算子.

设C为分段光滑简单闭曲线，n为C的外法线向量，D为C所围成的闭区域。函数u(x，y)在D上有连续二阶偏导数，证明

设函数u(x,y)在光滑闭曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数,证明

设L是平面上的简单闭曲线，它所包围的区域D的面积为S，其中是平面取定方向上的单位向量。证明

其中L的定向与平面的定向符合右手定则。

证明：若f(u)为连续函数，C为分段光滑的简单闭曲线，则∮_Cf(x²+y²)(xdx+ydy)=0．