设B是2n级实矩阵,满足B²=-I，且B≠±1。证明:存在2n级实可逆矩阵P,使得

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

(1)设A、C分别为阶实对称矩阵，B是实矩阵，

是正定矩阵(实)。证明:

等号当且仅当B=0时成立.

(2)设是n阶实矩阵，

求证:

1)设A为一个n级实矩阵，且|A|≠0，证明A可以分解成A=QT，其中Q是正交矩阵，T是上三角形矩阵：

ii＞0(i=1，2，...，n)，并证明这个分解是唯一的;

2)设A是n级正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵T，使A=T'T。

如图所示，设

是一个n级对称矩阵,且Ar是r级可逆矩阵。证明:

并且求出B。