设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的真子空间证明:对ξɇW,必有非零向量η∈W+L(ξ),使对所有的α∈W,都有f(η,α)=0

设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间，令

证明:(1)W^⊥是V的线性子空间

(2)如果W∩W^⊥={0},则V=W⊕W^⊥

设是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，W表示由W中向量的像组成的子空间，证明：

设W,W₁,W₂都是向量空间V的子空间，且.

证明:W₁=W₂

设W，W₁，W₂都是向量空间V的子空间，其中W₁W₂且W∩W₁=W∩W₂，W+W₁=W+W₂，证明：W₁=W₂。

设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ^-1的不变子空间.

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1

设w为欧几里得空间V的子空间，a是V的一个向量.定义a到W的距离

其中,a'为a在W上的正交投影.

证明:如果a₁,a₂,...,a_m为W的基,则

这里的G(...)是向量组的格拉姆矩阵.