题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设X为拓扑空间.为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素使得
设X为拓扑空间.
为X的道路连通子集族,满足条件:对于任意a,βєГ,存在Г中有限个元素
使得
证明
为道路连通子集.
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设
为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员
使得
不是隔离的子集,则
为连通子集.
并指出,定理4.1.6是这个习题的特例.
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第1题
设为拓扑空间X的连通子集族证明:若对于任意a,β∈Г,都存在Г中有限个成员使得不是隔
第2题
设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xn的一个子集族,使
设
是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令
是Xn的一个子集族,使得U⊂Xn是.
的一个元素当且仅当或者
或者Xn- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.
(1)
是Xn的一个拓扑;
(2)拓扑空间
是一个
空间.
第4题
设Y为拓扑空间X的连通子集.证明若A,B为X的无交的开集(或闭集)使得Y⊂AUB,则或者Y⊂A或者Y⊂B.
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第5题
设X和Y是两个拓扑空间.分别记xєX和yєY在拓扑空间X和Y中所属的连通分支为C(x)和D(y).设f:X→Y为
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连续映射.定义映射
使得对于xєXf(C(x)) = D(f(x)).证明:
(1)映射f的定义是合理的,即如果x1,x2єX,使得C(x1) = C(x2),则D(f(x1)) =D(f(x2));
(2)如果f是一个同胚,则f是一个一一映射.
第6题
设拓扑空间（X，τ)满足第二可数公理．证明从X的任意开覆盖中可选出由可数个集构成的子覆盖．
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第8题
设X为距离空间,A为X中子集,令证明f(x)是X上连续函数.
设X为距离空间,A为X中子集,令证明f（x)是X上连续函数.
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设X为距离空间,A为X中子集,令
证明f(x)是X上连续函数.
第10题
证明Y为拓扑空间x的不连通子集当且仅当存在X的开集(闭集)A,B使Y⊂A∪B,A∩BCX-Y且A∩Y≠Ф,B∩Y≠Ф.
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