题目内容
(请给出正确答案)
[主观题]
设函数f(x)在[0,π]上连续,且|f(x)dx=0,|f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ
设函数f(x)在[0,π]上连续,且|f(x)dx=0,|f(x)cosxdx=0,试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ0)=0.
答案
[详解1] 令F(x)=∫0xf(t)dt则有F(0)=F(π)=0.又因为
0=∫0πf(x)cosxdx
=∫0πF(x)
=F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinsxdx
=∫0πF(x)sinxdx
[分析]本题直接用连续函数的介值定理是困难的,可考虑作辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt,显然有F(0)=F(π)=0,但要最终证明结论,还需另找F(x)的一个零点,这当然要由第二个条件∫0πf(x)cosxdx=0来实现.为了使其与F(x)联系起来,可将其变换为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πF(x),再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的.[评注1]证明f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有k+1个零点.F(x)=∫0xf(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数,应当引起注意.[评注2]详解1中的ξ和详解2中的ξ1均可由积分中值定理得到,请读者自己思考.积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈(a,b),使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a).[评注3]证明介值问题,一般有两种情形:1.要证的结论与某函数在某一点的函数值f(ξ)有关,但与其导数值无关,可考虑用连续函数的介值定理;2.要证的结论与某函数在某一的导数值f"(ξ)(或更高阶导数值)有关,则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式).但是根据(∫axf(t)dt)"=f(x)知,若要证的结论与导数无关,用连续函数的介值定理又解决不了时,也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数,通过微分中值定理进行证明.这是一个例外的隐含情形,应当引起注意.
[分析]本题直接用连续函数的介值定理是困难的,可考虑作辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt,显然有F(0)=F(π)=0,但要最终证明结论,还需另找F(x)的一个零点,这当然要由第二个条件∫0πf(x)cosxdx=0来实现.为了使其与F(x)联系起来,可将其变换为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πF(x),再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的.[评注1]证明f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有k+1个零点.F(x)=∫0xf(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数,应当引起注意.[评注2]详解1中的ξ和详解2中的ξ1均可由积分中值定理得到,请读者自己思考.积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈(a,b),使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a).[评注3]证明介值问题,一般有两种情形:1.要证的结论与某函数在某一点的函数值f(ξ)有关,但与其导数值无关,可考虑用连续函数的介值定理;2.要证的结论与某函数在某一的导数值f"(ξ)(或更高阶导数值)有关,则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式).但是根据(∫axf(t)dt)"=f(x)知,若要证的结论与导数无关,用连续函数的介值定理又解决不了时,也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数,通过微分中值定理进行证明.这是一个例外的隐含情形,应当引起注意.
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