5、设E 为赋范空间, L为E的真闭子空间. 证明: L为稀疏集 . 由此说明: 多项式的全体P在C[a,b] 中是第一纲集.

按定义， 倒数第二个“=”成立是因为L是线性空间。 若要证明 按‖·‖是赋范线性空间，只要证明‖·‖满足范数3个条件： (1)正定性‖ξ‖≥0显然。若 ，即ξ中存在一收敛于0的子列，由L闭知ξ闭，从而0∈ξ，即ξ=0+L=L是 中零元素。 (2)齐次性 其中y∈ξ (3)三角不等式 其中x∈ξ，y∈η，第二个“=”成立是因为L+L=L 下面证明可分性。若E可分，存在可数子列{x n }在E中稠密，则{η n :η k =x n +L}在 中稠密．事实上，对任意ε＞0及 ，取y∈ξ，则存在x n 满足‖y-x n ‖＜ε，而 即{η n }在 中稠密