在直角坐标系xOy中，点M（4，－3)到原点O的距离是

（1）由题意，可得 ∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y） ∴ MA + MB =(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y) ， 由此可得， | MA + MB |= (-2x) 2 + (2-2y) 2 = 4 x 2 +4 y 2 -8y+4 ， 又∵ | MA + MB |=4- 1 2 OM ?( OA + OB ) ，且 4- 1 2 OM ?( OA + OB )=4- 1 2 (x，y)?(0，2)=4-y ， ∴ 4 x 2 +4 y 2 -8y+4 =4-y ， 化简整理得： x 2 3 + y 2 4 =1 ，即为所求曲线C的方程． （2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称， 所以可设P（x，y），M（x 0 ，y 0 ），N（-x 0 ，-y 0 ）． ∴P，M，N在椭圆上， ∴ x 2 3 + y 2 4 =1 ，…①． x 20 3 + y 20 4 =1 ，…② ①-②，得 y 2 - y 20 x 2 - x 20 =- 4 3 ． 又∵ k PM = y- y 0 x- x 0 ， k PN = y+ y 0 x+ x 0 ， ∴ k PM ? k PN = y- y 0 x- x 0 ? y+ y 0 x+ x 0 = y 2 - y 20 x 2 - x 20 =- 4 3 ， 因此，k PM ?k PN 的值恒等于- 4 3 ，与点P的位置和直线L的位置无关． （3）由于P（x，y）在椭圆C： x 2 3 + y 2 4 =1 上运动，可得x 2 =3- 3 4 y 2 且-2≤y≤2 ∵ MP =（x，y-m）， ∴| MP |= x 2 +(y-m ) 2 = 1 4 y 2 -2my+ m 2 +3 = 1 4 (y-4m) 2 -3 m 2 +3 由题意，点P的坐标为（0，2）时， | MP | 取得最小值， 即当y=2时， | MP | 取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得 m≥ 1 2 ． 又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2， ∴ 1 2 ≤m≤2 ，实数m的取值范围是 [ 1 2 ，2] ．