1 长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x（1-x)/2，试写出相应的定解问题。

(1)该问题的数学模型为 Stepl：分离变量： 令u(xt)=X(x)T(t)代入齐次方程及齐次边界条件有 X(x)T'(t)=a 2 X'(x)T(t) X(0)T(t)=X(ι)T(t)=0由于x(x)≠0T(t)≠0所以有 X(0)=X(ι)=0整理得 X'(x)-λX(x)=0 X(0)=X(ι)=0 T'(t)-a 2 λT(t)=0Step2：求解特征值问题 讨论：若λ=0则X'(x)=0此时X(x)=C+Dx将X(0)=X(ι)=0代入得C=D=0于是X(x)=0 ∴ λ=0不合适舍去。 若A＞0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 ∴X(x)=0 ∴ A＞0也不合适舍去。 若λ＜0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 (2)该问题的数字模型为 Step1：分离变量： 令u(xt)=X(x)T(t)并代入齐次方程及齐次边界条件中有 X(x)T'(t)=a 2 X'(x)T(t) X'(0)T(t)=X'(Z)T(t)=0由于X(x)T(t)≠0故上面方程可化为 整理得 X'(x)-λX(x)=0 T'(t)-a 2 λT(t)=0 X'(0)=X'(ι)=0 Step2：求解下面的特征值问题 讨论：若λ=0则方程变为X'(x)=0这样X(x)=C 0 +D 0 x∵X'(x)=D 0 而X'(0)=X'(ι)=0∴D 0 =0此时有X(x)=C 0 (取C 0 ≠0即可) 若λ＞0时则方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 ∴ C=-D=0此时X(x)≡0∴ λ＞0不合适若λ＜0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 (3)该问题的数学模型为 Step1：分离变量令u(xt)=X(x)T'(t)代入齐次方程及齐次边界条件中有 X(x)T'(t)=a 2 X'(x)T(t) X(0)T(t)=X'(ι)T(t)=0由于X(x)≠0T(t)≠0整理上面方程有 X(0)=X'(ι)=0整理得 X'(x)-λX(x)=0 X(0)=X'(ι)=0 T'(t)-a 2 λT(t)=0Step2：求解下面的特征值问题 讨论：若A=0则 X'(x)=0 ∴ x(x)=C+Dx这样X'(x)=D ∴X(x)=0∴ λ=0不合适舍去。若λ＞0时则方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 ∴ C=-D=0∴ 这说明λ＞0也不合适。 若λ＜0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为 (1)该问题的数学模型为Stepl：分离变量：令u(x,t)=X(x)T(t),代入齐次方程及齐次边界条件有X(x)T'(t)=a2X'(x)T(t)X(0)T(t)=X(ι)T(t)=0由于x(x)≠0,T(t)≠0所以有X(0)=X(ι)=0整理得X'(x)-λX(x)=0X(0)=X(ι)=0T'(t)-a2λT(t)=0Step2：求解特征值问题讨论：若λ=0,则X'(x)=0此时X(x)=C+Dx将X(0)=X(ι)=0代入得C=D=0,于是X(x)=0∴λ=0不合适,舍去。若A＞0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为∴X(x)=0∴A＞0也不合适,舍去。若λ＜0时方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为(2)该问题的数字模型为Step1：分离变量：令u(x,t)=X(x)T(t),并代入齐次方程及齐次边界条件中有X(x)T'(t)=a2X'(x)T(t)X'(0)T(t)=X'(Z)T(t)=0由于X(x),T(t)≠0故上面方程可化为整理得X'(x)-λX(x)=0T'(t)-a2λT(t)=0X'(0)=X'(ι)=0Step2：求解下面的特征值问题讨论：若λ=0,则方程变为X'(x)=0这样X(x)=C0+D0x∵X'(x)=D0而X'(0)=X'(ι)=0∴D0=0此时有X(x)=C0(取C0≠0即可)若λ＞0时则方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为∴C=-D=0此时X(x)≡0∴λ＞0不合适若λ＜0时,方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为(3)该问题的数学模型为Step1：分离变量令u(x,t)=X(x)T'(t),代入齐次方程及齐次边界条件中有X(x)T'(t)=a2X'(x)T(t)X(0)T(t)=X'(ι)T(t)=0由于X(x)≠0,T(t)≠0整理上面方程有X(0)=X'(ι)=0整理得X'(x)-λX(x)=0X(0)=X'(ι)=0T'(t)-a2λT(t)=0Step2：求解下面的特征值问题讨论：若A=0,则X'(x)=0∴x(x)=C+Dx这样X'(x)=D∴X(x)=0∴λ=0不合适,舍去。若λ＞0时则方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为∴C=-D=0∴这说明λ＞0也不合适。若λ＜0时,方程X'(x)-λX(x)=0的特征方程为