题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设n阶实对称矩阵A，B都是正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。
答案
由A正定，有可逆矩阵Q，使Q T AQ=E.由于Q T BQ仍为实对称矩阵，所以有正交矩阵R，使R T (Q T BQ)R=D=diag(λ 1 ，λ 2 ，…，λ n )为对角矩阵，其中λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 为实对称矩阵Q T BQ的全部特征值.令P=QR，则因可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，知P为可逆矩阵，且有 P T AP=(QR) T A(QR)=R T (Q T AQ)R=R T ER=E P T BP=(QR) T B(QR)=R T (Q T BQ)R=D=diag(λ 1 ，λ 2 ，…，λ n )$由(1) 可得 A=(P T ) -1 EP -1 =(p -1 ) T p -1 ， B=(P T ) -1 DP -1 =(P -1 ) T DP -1 ， (其中D为对角矩阵) 令M=P -1 ，则M可逆，且使A=M T M，B=M T DM，故(2) 得证.
如搜索结果不匹配，请 联系老师 获取答案
