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[主观题]
设V是数域F上一个有限维内积空间，配备了一个内积f，证明以下两条件等价：（ii)f关于V的任意基的格
设V是数域F上一个有限维内积空间，配备了一个内积f，证明以下两条件等价：
(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。
满足上述条件的内积叫作非退化的。
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第1题
设f是数域F上有限维向量空间V的一个非退化内积，φ：V→F是V上一个线性函数。证明存在唯一的向量α∈V，使得对于任意β∈V来说，都有φ(B)=f(α，β)。
设f是数域F上有限维向量空间V的一个非退化内积，φ：V→F是V上一个线性函数。证明存在唯一的向量α∈V，使得对于任意β∈V来说，都有φ（B)=f（α，β)。
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第2题
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义
证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？
第3题
V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知求。
V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知
求
。
第4题
设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ－1的不变子空间.
设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ-1的不变子空间.
第6题
设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？根据
设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？
根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:
第7题
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
第8题
设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ
设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令
是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：
这里Wi=W∩V，i=1，2，...，k。
第9题
设V为数域P上的n维线性空间，且V=L（α1，α2，...αn)，（1)证明{α1，α1+α2，..
设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α1，α2，...αn)，
(1)证明{α1，α1+α2，...，α1+α2+...+αn}是V的一组基:
(2)若a∈V在基{α1，α2，...αn}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α1，α1+α2，...，α1+α2+...+αn}下的坐标
