设是欧氏空间V的一个变换。证明：如果保持内积不变，即对于α，β∈V，，那么它一定是线性的，因而它是正

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

设V是一个n维欧氏空间。证明：

(i)如果W是V的一个子空间，那么

(ii)如果W₁，W₂都是V的子空间，且

(iii)如果W₁，W₂都是V的子空间，那么

n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量a，β∈V。

证明：

(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件A^T=-A的矩阵叫作反对称矩阵);

(ii)反之，如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换;

(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零，或者是纯虚数。

设{α₁，α₂，…，α_n}和{β₁，β₂，…，β_n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，τ(α₃)，…，τ(α_n)所生成的子空间与β₂，β₃，…，β_n所生成的子空间重合．

设{α₁，α₂，···，α_n}和{β₁，β₂，···，β_n}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。

(i)证明：存在V的一个正交变换σ，使σ(α_i)=β_i，i=1，2，...，n;

(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，···，τ(α_n)所生成的子空间与由β₂，···，β_n所生成的子空间重合。

设α₁，α₂，α₃是欧氏空间V的一个标准正交基.证明：也是V的一个标准正交基.

设σ是欧氏空间V到自身的一个映射，对证明：σ是V的一个线性变换，因而是一个正交变换。