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[主观题]
设K是一个有单位元的整环，a，b∈K．证明：主理想（a)与（b)相等当且仅当a与b相伴．
设K是一个有单位元的整环，a，b∈K．证明：主理想(a)与(b)相等当且仅当a与b相伴．
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第2题
设K是一个阶大于1且有单位元的整环.证明:K中元素a≠0是不可约元的充要条件是，(a)在K的全体真主理想中是极大的.
设K是一个阶大于1且有单位元的整环.证明:K中元素a≠0是不可约元的充要条件是，（a)在K的全体真主理想中是极大的.
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第3题
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元，α∈K，并令 R[α]={f（α)|f（x)∈R[x]}．
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元，α∈K，并令 R[α]={f(α)|f(x)∈R[x]}． 证明：R[x]～R[α]．
第4题
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元,a∈K,并令R[a/={f(a)|f(x)∈R/x]}证明:R[x]~R[a]
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元,a∈K,并令R[a/={f（a)|f（x)∈R/x]}证明:R[x]~R[a]
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第5题
任意有限群均与 群同构。 2. 已知整数集合 Z 关于加法 : a b = a+b - 4 构成一个群,其单位元
任意有限群均与 群同构。 2. 已知整数集合 Z 关于加法 : a b = a+b - 4 构成一个群,其单位元为 。 3 . n 阶循环群 G = 的全部不同的生成元有 个。 4 .模 4 的剩余类加群 Z 4 有 个不同的正规子群。 5. 模 n 的剩余类环 Z n 为域的充要条件是 . 6 .设 R 为含 4 个元的整环,则其特征为 。 7 .模 6 的剩余类环 Z 6 的全体零因子为 。 8 .设 Z[ i ] 为偶数环,则 =
第6题
设R是有单位元的整环（可换、无零因子)．证明： 1)若char R=∞，则R有子环与Z同构； 2)若char
设R是有单位元的整环(可换、无零因子)．证明： 1)若char R=∞，则R有子环与Z同构； 2)若char R=p(p是素数)，则R有子环与Zp同构．
第7题
设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基(IKaplansky)定理:设R是一个有单位元(用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.
设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基（IKaplansky)定理:设R是一个有单位元（用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.
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