已知体系的能量算符为 H=Kl2＋ωlz＋λly （1) 其中K、，l为轨道角动量算符．

设F为体系的一个可观测量(Hermite算符)，H为体系的Hamilton量，证明在能量表象中的求和规则

设体系的Hamilton量H的本征方程H|n〉=En|n〉，E_n与n分别是能量本征值和本征态，n为一组完备的量子数，且态矢量|n〉已归一化，满足〈n|n〉=1．试证明：Hamilton算符可以表示为

给定总能量算符H(r，p)，以E_n、ψ_n表示其本征值和本征函数．态矢量|ψ_n〉简记为|n〉．

按照Heisenberg运动方程，力学量算符A(r，p)的时间变化率为

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

对于角动量算符

(a) 在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式。

(b) 定义升降算符利用对易关系证明：若f是L²和L_z的共同本征态，则也是L²和L_z的本征态。

(c) 在球坐标系中，求解L_z的本征方程。

设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为|n〉和E_n，n为一组完备好量子数．证明，力学量(算符，不显含时间)F随时间的变化，在此能量表象中表示为