设A，B是希尔伯特空间上的线性算子，满足 （Ax，y)=（x，By)， 其中，则A，B均有界。

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，

证明 下列命题等价：

(1)P是投影算子；

(2)P²=P且P是自共伴算子；

(3)P²=P，且N(P)上R(P)；

(4)若H是复空间，则还等价于

(Px，x)=‖Px‖²，x∈H

设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子，

α∈ρ(T)， A=R(α，T)

设μ，λ满足μ(α-β)=1，则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A)，且μ(α-β)=1，则

设u₁，u₂，…，u_n…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x₁，x₂…，x_n，…}的全体：

∑_n=1^∞‖x_n‖²＜∞

在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义

(x,y)=∑_n=1^∞(x_n，y_n)，

这里x={x₁，x₂，…，x_n…}，y={y₁，y₂，…，y_n…}，证明：U是一个内积空间；若所有u₀都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。

设E是巴拿赫空间，T_λ是定义在复平面的某一非空开集G上而在中取值的抽象函数，适合T_λ-T_μ=(μ-λ)T_λT_μ又设对G中的某个λ，T_λ^-1存在且有界。则T_λ^-1对一切λ∈G都存在且有界，而且存在E上的有界线性算子T，使T_λ^-1是T的预解式，满足。

设A是I²上线性算子,记

其中证明A是全连续的.

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

设α(·)是定义在[a，b]上的函数。令

(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a，b])，

则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！