证明:若无穷积分绝对收敛,函数φ(x)在[a,+∞)单调有界,则无穷积分收敛.

证明:若无穷积分绝对收敛,函数φ(x)在[a,+∞)是有界连续函数,则无穷积分绝对收敛.

若收敛,则称f(x)在[a,+∞)上平方可积(类似可定义无界函数在[a,b]上平方可积的概念).

(1)对两种反常积分分别探讨f(x)平方可积与f(x)的反常积分收敛之间的关系;

(2)对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;

(3)对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.

证明:若无穷积分收敛,函数f(x)在[a,+∞]单调,则(考虑积分

证明:若函数f(x)在[0,+∞)一致连续,且无穷积分收敛,

则

证明:若函数f(x)在[a,+∞]有连续的导函数f'(x),且无穷积分

都收敛,则

证明:若函数f(x)在[1,+∞]单调减少,且当x→+∞时,f(x)→0,则无穷积分与级数同时收敛或同时发散.

证明:若1)积分收敛;2)函数φ(x)在区域D有界,且

证明:若函数φ_n(x)在[a,b]单调,且级数与都绝对收敛,则函数项级数在[a,b]一致收敛.

设f(x)在区间(0,1]上是非负减函数,且在点0右旁是无界的.若奇异积分是收敛的,证明:

设u_n(x)(n=1，2，…)是[a，b]上的单调函数，证明：若∑u_n(a)与∑u_n(b)都绝对收敛，则∑u_n(x)在[a，b]上绝对且一致收敛．