自旋1/2的三维各向同性谐振子，处于基态．设此粒子受到微扰H'=λσ·r作用（σ是Pauli自旋算符)，求能级修正（二

考虑三维各向同性谐振子(习题4.38).设微扰为

讨论下面两种情况的(一级)微扰效应:

(a)基态.

(b)第一激发态(三重简并).利用习题2.12和习题3.33的结果.

假设有两个无相互作用的粒子,质量均为m,处于一维谐振子势(式2.43中.如果一个粒子处于基态,另一个处于第一激发态,对下列三种情况分别计算((x₁-x₂)²)(a)它们是可分辨粒子,(b)它们是全同玻色子,(c)它们是全同费米子.忽略自旋(如果你困惑这个,可假设两者都处于相同的自旋态).

核子(自旋为1/ 2)在各向同性谐振子势中，能级

(a)讨论N=2能级的简并度，求轨道角动量I和总角动量j的可能取值;

(b)如势场中还出现一项能级将如何分裂？画出能级分裂图与无限深球方势阱中相应能级比较，并从物理上说明;

(c)再考虑核子受到如下自旋轨道耦合能级又将如何分裂？画出能级分裂图，给出各能级的简并度。

在谐振子的基态发现粒子处于经典理论所允许的范围之外的概率是多少(精确到小数点后三位数)？提示:经典谐振子的能量是E=(1/2)ka²=(1/2)m²a²其中a是振幅.所以一个具有能量E的谐振子的“经典允许范围”是从到.参考数学手册中“正态分布”或“误差函数”的数值积分.

设一维谐振子的初态为，即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。

(1)求t时刻的波函数。

(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

(3)求演化成所需的最短时间。

两个全同粒子处于一维谐振子中，分别下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数。

(a) 单粒子自旋为0;

(b) 单粒子自旋为1 /2;

(c) 如果两个粒子之间还有相互作用(γ为正实数)，讨论上述(a)和(b)两种情况下能级发生的变动，画出能级图。

质量为m的粒子处于一维谐振子势中，在t=0时刻其初态分别为Ψ₁(x)=ψ₀(x)，Ψ₂(x)=ψ₁(x)，Ψ₃(x)=ψ₀(x)+iψ₁(x)，其中ψ₀、ψ₁分别为谐振子的归一化基态与第一激发态．试分别求在此后t＞0时刻(a)粒子的波函数；(b)位置期望值；(c)动量期望值．

质量为m之粒子处于一维谐振子势场

，k＞0 (1)

的基态．(a)如弹性系数k突然变为2k，即势场变成

V₂(x)=kx²(2)

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场V₂的基态的概率；(b)势场突然由V₁变成V₂后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成V₁．问τ取什么值时粒子仍恢复到原来V₁场的基态(概率100%)？

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．