题目内容
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[主观题]
试证明： 若f（x)是R1的实值函数，则集合 {x∈R1:f（x)在x点不连续但右极限f（x＋0)存在（有限)}是可数集．
试证明：
若f(x)是R1的实值函数，则集合
{x∈R1:f(x)在x点不连续但右极限f(x+0)存在(有限)}是可数集．
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令(斜坡函数)
并设f(x)是R1上的实值函数，若对一切n，ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续，试证明f∈C(R1)．
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第2题
试证明： 若f（x)是R1上的实值可测函数，且有 f（x+y)=f（x)+f（y)（x，y∈R1)，则f（x)是连续函数．
试证明：
若f(x)是R1上的实值可测函数，且有
f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R1)，则f(x)是连续函数．
第3题
设f:R1→R1，且有f（x+y)=f（x)+f（y)（x，y∈R1).若f（x)至少有一个不连续点，试证明其函数图形集 Gf={（x，f（x))：x∈R
设f:R1→R1，且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点，试证明其函数图形集
Gf={(x，f(x))：x∈R1}
在R2中稠密．
第4题
试证明： 设f（x)是R1上的实值可测函数，F（x，y)是R2上的连续函数．若有 |f（x+y)|≤F（f（x)，f（y))，x，y∈R1， 则f（
试证明：
设f(x)是R1上的实值可测函数，F(x，y)是R2上的连续函数．若有
|f(x+y)|≤F(f(x)，f(y))，x，y∈R1，
则f(x)在有界集上是有界函数．
第5题
试证明： 设f（x)定义在R1上，且记DL（f)，DR（f)各是f（x)的左不连续点集与右不连续点集．若其中之一是可数集，则
试证明：
设f(x)定义在R1上，且记DL(f)，DR(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集．若其中之一是可数集，则另一点集也是．
第6题
试证明： 设f（x)在R1上可微．若对任意的λ∈R1，点集F={x∈R1：f'（x)=λ)总是闭集，则f'（x)是连续函数．
试证明：
设f(x)在R1上可微．若对任意的λ∈R1，点集F={x∈R1：f'(x)=λ)总是闭集，则f'(x)是连续函数．
第7题
试证明： 设f（x)是R1上的有界函数，若对于每一点x∈R1，存在极限，则f（x)在任一区间[a，b]上均是可积的．
试证明：
设f(x)是R1上的有界函数，若对于每一点x∈R1，存在极限，则f(x)在任一区间[a，b]上均是可积的．
第8题
试证明： 设f（x)在R1上具有介值性，若对任意的r∈Q，点集{x∈R1：f（x)=r}必为闭集，则f∈C（R1)．
试证明：
设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的r∈Q，点集{x∈R1：f(x)=r}必为闭集，则f∈C(R1)．
