设R是集合x上的一个自反关系。求证：R是对称和传递的，当且仅当对任意a,b,c∈X,若＜a,b ＞,＜a,c ＞∈R,有＜ b,c ＞∈R。

指出下面命题证明中的错误．

命题：设R是集合A上的对称、传递的关系，则R是自反的．

证明：设x∈A，根据对称性由〈x，y〉∈R得到〈y，x〉∈R，再使用传递性得到〈x，x〉∈R．从而证明了R的自反性．

A.自反的

B.对称的

C.对称的、传递的

D.反自反的、传递的

A.自反的

B.对称的

C.对称的、传递的

D.反自反的、传递的

A.若R和S是自反的，则 R。S也是自反的

B.若R和S是反自反的，则 R。S也是反自反的

C.若R和S是对称的，则 R。S也是对称的

D.若R和S是传递的，则 R。S也是传递的

判断下列各关系是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性.

(1)R是自然数集合N上的关系.且xRy当且仅当x +y是偶数.

(2)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当x>y或y>r.

(3)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当|x|+|y|≠3.

(4)R是有理数集合Q上的关系,且xRy当且仅当y=x+2.

(5)R是自然数集合N上的关系,且xRy当且仅当xy=4.

A.自反的

B.对称的

C.传递的，对称的

D.非自反的，传递的

设{A₁，A₂，…，A_k}是集合A的一个划分，定义A上的一个二元关系R，使〈a，b〉∈R当且仅当a和b在这个划分的同一块中，证明：R是自反的、对称的和可传递的．

设集合A={1,2}，R = {|x,y A且x+y＜3}，则R在A上是

A．自反的，但不是对称的

B．自反的，又是对称的

C．对称的，但不是自反的

D．不是自反的，也不是对称的

设x={1,2,3,4},r是x上的二元关系,r={＜1,1＞,＜3,1＞,＜1,3＞,＜3,3＞,＜3,2＞,＜4,3＞,＜4,1＞,＜4,2＞,＜1,2＞}

(1)写出R的关系矩阵

(2)说明R是否具有自反，反自反，对称，传递的。