假定G是无限阶的循环群,`G是任何循环群。证明G与`G同态。

第1题

设（G，*)是n阶群，如果（G，*)不是循环群，证明（G，*)必有非平凡子群。

设(G，*)是n阶群，如果(G，*)不是循环群，证明(G，*)必有非平凡子群。

第2题

假定G是一个循环群，N是G的一个子群。证明,G/N也是循环群。

第3题

I是整数集合，I_M={0，1，2，…n-1)(G，*)是一个循环群，下列结论成立的是 ( )

A．(G，*)与(I，+)或(I_n+_n)同构，二者必有一个成立(_n是模n的加法)

B．(G，*)为无限循环群时，不可能与(I，+)同构

C．(G，*)为”阶循环群时，不可能与(I_n，+_n)同构

D．(I，+)，(I_n+_n)本身都不是循环群

第4题

Z是整数集合，Z_n={[0]，[1]，[2]，…，[n-1]}，(G，*)是一个循环群，下列结论成立的是( )．

A．(G，*)与(Z，+)或(Z_n，+_n)同构，二者必有一个成立(_n是模n的加法)

B．(G，*)为无限循环群时，不可能与(Z，+)同构

C．(G，*)为n阶循环群时，不可能与(Z_n，+_n)同构

D．(Z，+)，(Z_n，+_n)本身都不是循环群

第5题

设G={1，-1，i，-i}，其中i是虚数单位，证明（G，·)是循环群．

设G={1，-1，i，-i}，其中i是虚数单位，证明(G，·)是循环群．

第6题

设G=（a)为6阶循环群．给出G的一切生成元和G的所有子群．

设G=(a)为6阶循环群．给出G的一切生成元和G的所有子群．

假定G是无限阶的循环群，`G是任何循环群。证明G与`G同态。