证明:为代数结构的同态（这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为

(R，+)是实数集上的加法群，设f：x→e^2πix，x∈R，f是否为同态映射？如果是，请写出同态像和同态核．

R为实数集,为数乘运算运算*定义为:则代数系统是().

A.半群

B.独异点

C.群

D.阿贝尔群

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

R和R+分别是实数集和正实数集，+，*表示通常的加法和乘法，试证明(R，+)和(R₊，*)同构．

设在实数集R上有运算“*”定义如下：

a*b=a+b+2ab．

(1)(R，*)是代数系统吗？

(2)(R，*)是半群吗？

(3)(R，*)有单位元素吗？如有“，”单位元素是什么？

A.〈Q-{0},×〉，其中Q为有理数集，×为普通乘法

B.〈G,•〉，其中G={所有n阶可逆方阵}，•是G上的矩阵乘法运算

C.〈R,+〉其中R为实数集，+为普通加法

D.〈Z,+〉,其中Z为整数集，+为普通加法

设 R为实数集,映射σ、 满足σ:R→R,σ(x)=x²+2x+1,τ:R→R,r(x)=x/2.

(1)求τ○σ,σ○τ.

(2)对于τ、σ中的双射函数求反函数.

设R为实数集，f：R→R，f(x)=x²-x+2，g：R→R，g(x)=x-3．

设S={a,b,c}是一个集合,且是S的幂集代数,是二阶布尔代数,映射

试证明g是一个布尔同态。

求曲线x=Rcos³t,y= Rsin³连上绕x轴旋转所得立体体积(这里R为正实数).