设A=（a_ij)∈R^n×n.证明:1)若则|A|≠0;2)若则|A|＞0.

设A=(a_ij)是一个n级正定矩阵，而在Rⁿ中定义内积(α，β)为(α，β)=αAβ'。

1)证明：在这个定义之下，Rⁿ成一欧氏空间;

2)求单位向量(0，0，..，1)的度量矩阵;

3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

设a₁,a₂, …,a_n是n维欧氏空间Rⁿ的一组基，证明:若Rⁿ中向量β₁,β₂满足

设α₁，α₂，···，α_n是n维欧氏空向Rⁿ的一组基。证明：

(1)若γ∈Rⁿ，有(γ，α_i)=0，i=1，2，...，n，则γ是零向量;

(2)若γ₁，γ₂∈Rⁿ，使对Rⁿ中任意向量α，均有＜γ₁，α＞=＜γ₂，α＞，那么γ₁=γ₂。

设n阶方阵A=(a_ij)的各行元之和为常数a，证明

(1)a为A的一个特征值是对应的特征向量;

(2)A^m的每行元之和为a^m，其中m为正整数;

(3)若A可逆，则A^-1的每行元之和为1/a。

设n阶方阵A=(a_ij)的各行元之和为常数a,证明

(1)a为A的一个特征值,是对应的特征向量;

(2)Am的每行无之和为a^m,其中m为正整教;

(3)若A可逆,则A^-1的每行元之和为1/a.

设无穷阵(a_ij)i,j=1,2,...,满足作I^∞到I^∞中算子如下:若

则证明

设A=(a_ij)_m×n为行满秩矩阵，试证：向量z(∈Rⁿ)在A的零空间N={x∈Rⁿ|Ax=0)上的正交投影为p-[I_n-A^T(AA^T)^-1A]z.

试证明：

设f∈L(Rⁿ)．若对一切Rⁿ上具有紧支集的连续函数φ(x)，均有，则f(x)=0，a．e．x∈Rⁿ．