在抛物线y＝x2（第一象限部分，且2≤8)上求一点，使过该点的切线与直线y＝0，x＝8相交所围成的三角形的面

计算下列曲线积分(其中a＞0)：

(1)其中L为由直线y=x及抛物线y=x²所围成的区域的整个边界;

(2)其中L为圆周x²+y²=a²，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

(3)其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1–cost)，0≤t≤2π。

计算下列对坐标的曲线积分:

(1)，其中L是抛物线y=x²上从点(0，0)到点(2，4)的一段弧;

(2)，其中L为圆周(x-a)³-y²=a²(a＞0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);

(3)，其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;

(4)，其中L为圆周x²+y²=a²(按逆时针方向绕行).

计算下列对弧长的曲线积分:

(1),其中L为连接(1,0)及(0，1)两点的直线段;

(2)，其中L为圆周x=acost，y=asint(0≤t≤2π);

(3)，其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;

(4)，其中L为圆周x²+y²=a²，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

计算下列对弧长的曲线积分：

(5)∮_Lxds，其中L为由直线y=x与抛物线y=x²所围成的区域的整个边界，

(10)其中L为上半圆周x²+y²=a²，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。

计算下列对弧长的曲线积分:

(1),其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π)

(2),其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x²所围成的区域的整个边界

(4),其中L为圆周x²+y²=a²,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界

(5),其中Г为曲线x=e'cost,y=e'sint,z=e'上相应于t从0变到2的这段弧

(6),其中Г为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)

(7),其中L为摆线的一拱x=a(t-sint),y =a(1–cost)(0≤t≤2π)

(8),其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0≤1≤2π)

化二重积分为二次积分(写出两种积分次序)．

(1)D={(x,y||x|≤1，|y|≤1}

(2)D是由y轴，y=1及y=x围成的区域．

(3)D是由x轴，y=lnx及x=e围成的区域．

(4)D是由x轴，圆x²+y²-2x=0在第一象限的部分及直线x+y=2围成的区域．

(5)D是由x轴与抛物线y=4x²在第二象限的部分及圆x²+y²-4y=0在第一象限的部分围成的区域.

化二重积分

为二次积分(写出两种积分次序)． (1)D＝｛(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1｝． (2)D是由y轴，y＝1及y＝x围成的区域． (3)D是由x轴，y＝lnx及x＝e围成的区域． (4)D是由x轴，圆x2＋y2－2x＝0在第一象限的部分及直线x＋y＝2围成的区域． (5)D是由x轴与抛物线y＝4－x2在第二象限内的部分及圆x2＋y2－4y＝0第一象限内的部分围成的区域．

求下列旋转体的体积:

(1)曲线与直线χ=1、χ=4和χ轴所围成的平面图形绕χ轴和y轴旋转而得的旋转体;

(2)曲线y=e^-x与直线y=0,χ=0,χ=1所围的位于第一象限内的平面图形绕χ轴旋转而得的旋转体;

(3)曲线y=sinχ和y=cosχ与χ轴在区间上所围成的平面图形绕χ轴旋转而得的旋转体;

(4)曲线y=χ²和χ=y2所围成的平面图形分别绕χ轴和y轴旋转而得的旋转体;

(5)曲线y=χ2和y=2-χ²所围成的平面图形绕χ轴旋转而得的旋转体;

(6)已知抛物线y²=8χ,求

①抛物线在点(2,4)处的法线方程;

②抛物线y≥0的部分及其在(2,4)处的法线和χ轴所围成图形绕y轴旋转而得的旋转体.

(7)试用两种方法计算由y=(χ-1)(χ-2)和y=0所围成的平面图形绕y轴旋转而得的旋转体.

利用二重积分求下列图形D的面积：

(1)由抛物线y²=2x+1、y²=-4x+4所围图形;

(2)在第一象限中由曲线y=cosx、y=cos2x和y=0所围成的最靠近y轴的一块图形;

(3)由曲线x²+y²=4x、x²+y²=8x、y=x、y=√3x所围图形;

(4)由不等式r≤a(1+cosθ)及r≤a所围图形。