水星的质量为3.3×10^23kg，以半径为5.8×10^10m绕太阳近似作圆周运动，太阳的质量为2.0×10^30kg。（1)求水星的机械能;（2)假定水星移到半径为15×10^10m圆周轨道上运动，相当于地球绕太阳运动，必须提供多少能量？

设电子质量为m_e，电荷量为-e，以角速度ω绕带正电的质子作圆周运动，当加上外磁场B(B的方向与电子轨道平面垂直)时，设电子轨道半径不变，而角速度则变为ω'．证明：电子角速度的变化近似等于

如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度ω₀在无摩擦的水平面上，绕半径为r₀的圆周运动。如果在绳索的另一端作用一竖直向下的拉力，小球则以半径为r₀/2的圆周运动。试求：

A.金星

B.水星

C.地球

D.太阳

行星绕太阳的运行速度可分解为径向分速度和角向(垂直于径向)分速度。因此，质量为m的行星的机械能可写成式中,Ms为太阳的质量,r为太阳到行星的径矢。

(1)证明：以L表示行星对太阳的恒定角动量,则有:

(2)对于圆轨道,r=rn;对于一近似圆轨道,r=rn+x，x<

(3)和简谐运动的能量公式，即原书式(6.25)对比，可知上式除最后一项的附加常量外，它表示行星沿径向作简谐运动。证明:和此简谐运动相应的“等效劲度系数”为

(4)证明:上述径向简谐运动的周期等于该行星公转的周期。画出此行星的近似圆运动的轨道图形。

假设在绕太阳的圆轨道上有个“尘埃粒子”，设它的质量密度为1.0 g/cm3。粒子的半径r是多大时,太阳把它推向外的辐射压力等于把它拉向内的万有引力(已知太阳表面的辐射功率为)？对于这样的尘埃粒子会发生什么现象？

一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动，圆的半径为R₀，速率为v₀，因火箭爆发，给飞船增加了向外的径向速度分量v_r(v_r＜v₀)，于是它的轨迹成为椭圆．(1)试证引力可写成：；(2)试用R₀、v₀以及v_r写出椭圆方程．