设这里A，B，D和E是彼此不相交的，证明下列各式：

令K[A]=，K[B]=，K[D]=，这里A、B、D为互不相交的集合，证明：

设X是距离空间，F₁，F₂为X中不相交闭集。证明：存在开集G₁，G₂，使得

设π₁和π₂是非空集合A的划分，说明下列各式哪些一定是A的划分，哪些可能是A的划分，哪些不是A的划分，并予以证明。

设S={a,b},试证明半群不是可交换的。这里·是函数的合成。