判断下列命题(或说法)是否正确，为什么？
(1) 如果向量β可由向量组
线性表示， 即
则表示系数
不全为零
(2)若向量组
是线性相关的，则a1一定可由
线性表示：
(3)若向量组
线性相关， 向量组
线性相关，则有不全为零的数
使
0且
从而使
故
线性相关;
(4)如果存在不全为零的数
使
则向量组
线性无关;
(5)若
线性无关
线性相关， 则a1不可由
线性表示
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第1题
判断下列命题是否正确，正确的给予证明，错误的给出反例：
(1)若非零向量α1，α2，···，αm中任一个向量均不能由其余向量线性表示，则向量组α1，α2，···，αm线性无关;
(2)若向量组α1，α2，···，αm线性相关，则向量α1可由其余向量α2，···，αm线性表示;
(3)若向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则向量组α1，α2，α3，β1+β2也线性无关;
(4)如果有不全为零的数k1，k2，···，km，使得
成立，则α1，α2，···，αm线性相关，β1，β2，···，βm也线性相关;
(5)若向量组α1，α2，···，αm线性相关，向量组β1，β2，···，βm也线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，···，km，使得
同时成立;
(6)若向量组α1，α2，···，αm线性无关，向量组β1，β2，···，βm线性无关，则向量组α1，α2，···，αm，β1，β2，···，βm也是线性无关的。
第2题
设向量β可由向量组α1，α2，…，αr线性表出．试证：如果α1，α2，…，αr线性无关，则表示式是唯一的．
分析 这是一个证明“唯一性”的命题，证明这类命题，往往采用以下两种方法：一是反证法，假设满足题设的结果不唯一，从而推出矛盾；二是同一法，设满足题设的结果有两个，然后证明这两个相同．
第3题
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(I)α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β，则()．
A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示
B．αm不能由(I)线性表示，但可能由(Ⅱ)线性表示
C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D．αm可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示
第4题
A.既不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示
B.不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示
C.可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示
D.可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示
第5题
A.δ必可由α，β，γ线性表示
B.δ必不可由α，β，γ线性表示
C.c必可由β，γ，δ线性表示
D.β必不可由α，γ，δ线性表示
第6题
A.若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，则(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出
B.若秩r(α1，…，αs，β1，…，βt)=r，则(Ⅰ)与(Ⅱ)可互相线性表出
C.若s=t，则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价
D.若r=n，则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价
第8题
设向量组I：α1，α2，.jpg)
αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
第10题
举例说明下列各命题是错误的：
(1)若向量组a1,a2,…,am是线性相关的，则a1可由a2,…,am线性表示。
(2)若有不全为零的数λ1,λ2,…,λm，使
λ1a1+λ2a2+…+λmam+λ1b1+λ2b2+…+λmbm=0
成立，那么，a1,a2,…,am线性相关；b1,b2,…,bm也线性相关。
(3)若只有当λ1,…,λm全为零时，等式λ1a1+…+λmam+λ1a1+…+λmbm=0才能成立，那么a1,…,am线性无关，b1,…,bm也线性无关。
(4)若a1,…,am线性相关，b1,…,bm也线性相关，那么，有不全为零的数λ1,…,λm，使λ1a1+…+λmam=0，λ1b1+…+λmbm=0同时成立。
第11题
设向量组
的秩为r1，向量组
的秩为r2.向量组
的秩为r2，则下列结论不正确的是().
A.若(I)可由(II)线性表示，则r2=r3
B.若(II)可由(I)线性表示,则r1=r3
C.若r1=r3,则r2＞r1
D.若r2=r3,则r1≤r2
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可以由n维向量组
线性表示，则向量组
