题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设3阶实对称矩阵A的全部特征值为λ1=1，λ2=λ3=－1；ξ1=（1，2，－2)T为属于λ1的特征向量.求矩阵A.
设3阶实对称矩阵A的全部特征值为λ1=1，λ2=λ3=-1；ξ1=(1，2，-2)T为属于λ1的特征向量.求矩阵A.
答案
解法1 设x=(x1，x2，x3)T为属于特征值λ2=λ3=-1的特征向量，则由实对称矩阵的性质2，有〈ξ，x〉=0，即
x1+2x2-2x3=0 (4-31)
解得上述齐次线性方程组的基础解系为
ξ2=(-2，1，0)T，ξ3=(2，0，1)T
则ξ1，ξ2，ξ3为A的线性无关特征向量(分别属于特征值1，-1，-1).
解法2 从(4-31)式可取属于λ2=λ3=-1的相互正交的特征向量
ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(4，-1，1)T
于是得正交矩阵。由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此本题解法2比解法1较为简单.
注意，在本题中，由实对称矩阵的性质2，可知属于λ1=1的特征向量ξ1与属于λ2=λ3=-1的特征向量x必是正交的。但反过来，凡是与ξ1正交的非零向量是否必是λ2=λ3=-1的特征向量呢?我们指出这是肯定的，这可证明如下：设非零向量x与ξ1正交，令，则x与e1正交，即〈e1，x〉=0.由实对称矩阵的性质，可知3阶实对称矩阵A必有标准正交的特征向量e1，e2，e3(它们分别属于A的特征值1，-1，-1)，因而e1，e2，e3是R3的一个标准正交基，故x可由e1，e2，e3线性表出，即存在常数k1，k2，k3，使得
k1e1+k2e2+k3e3=x
(其中k1，k2，k3不全为零).用e1与上式两端作内积，得
k1〈e1，e1〉=〈x，e1〉=0
得k1=0，故x=k2e2+k3e3，且e2，e3不全为零.因e2，e3是λ2=λ3=-1的特征向量，故x亦是λ2=λ3=-1的特征向量.
x1+2x2-2x3=0 (4-31)
解得上述齐次线性方程组的基础解系为
ξ2=(-2，1，0)T，ξ3=(2，0，1)T
则ξ1，ξ2，ξ3为A的线性无关特征向量(分别属于特征值1，-1，-1).
解法2 从(4-31)式可取属于λ2=λ3=-1的相互正交的特征向量
ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(4，-1，1)T
于是得正交矩阵。由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此本题解法2比解法1较为简单.
注意，在本题中，由实对称矩阵的性质2，可知属于λ1=1的特征向量ξ1与属于λ2=λ3=-1的特征向量x必是正交的。但反过来，凡是与ξ1正交的非零向量是否必是λ2=λ3=-1的特征向量呢?我们指出这是肯定的，这可证明如下：设非零向量x与ξ1正交，令，则x与e1正交，即〈e1，x〉=0.由实对称矩阵的性质，可知3阶实对称矩阵A必有标准正交的特征向量e1，e2，e3(它们分别属于A的特征值1，-1，-1)，因而e1，e2，e3是R3的一个标准正交基，故x可由e1，e2，e3线性表出，即存在常数k1，k2，k3，使得
k1e1+k2e2+k3e3=x
(其中k1，k2，k3不全为零).用e1与上式两端作内积，得
k1〈e1，e1〉=〈x，e1〉=0
得k1=0，故x=k2e2+k3e3，且e2，e3不全为零.因e2，e3是λ2=λ3=-1的特征向量，故x亦是λ2=λ3=-1的特征向量.
如搜索结果不匹配，请 联系老师 获取答案
是A属于λ1的一个特征向量.记
其中E为3阶单位矩阵，
，求矩阵A。
，求 (1)A的特征值与特征向量； (2)矩阵A．
是A*的属于特征值μ的特征向量,求a与μ的值。并求A*.
