电荷为q的谐振子,t<0和t>τ时处于自由振动状态,总能量算符为 (1) 能量本征态记为ψn,能级.当0≤t≤τ,外加均
电荷为q的谐振子,t<0和t>τ时处于自由振动状态,总能量算符为
(1)
能量本征态记为ψn,能级.当0≤t≤τ,外加均匀电场,总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn,本征值为En.
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0,求t>τ时的波函数ψ(x,t),以及ψ(x,t)中各能量本征态ψn的成分.
(3)
通解为
(4)
其中ψn态成分为
|〈ψn|ψ〉|2=|fn|2 (5)
各系数fn取决于t=τ时的波函数
(6
所以关键是求出ψ(x,τ).
在0≤t≤τ,Schrodinger方程为
(7)
解为
(8)
其中Cn取决于初始波函数
(9)
在上题中已经证明
ψ0(x)=φ0(x+x0)=Dx(-x0)φ0(x) (10)
其中.如将位移算符Dx(-x0)表示成升降算符,
(11)
再利用Glauber公式
即得
(11')
其中.将式(11')代入式(10),得到
(12)
在上题中已经证明
(a-α0)φ0=0 (13)
(14)
所以
(12')
(15)
即ψ0(x)是以各φn为基矢组成的相干态波函数.比较式(9)和(15),即得
(16)
将式(16)代入式(8),并利用上题求得的能级公式
即得
(17)
其中
(18)
(19)
ψ(x,τ)也是各φn态组成的相干态波函数.
利用式(14),可以将式(17)表示成
(20)
而由式(12'),则得
代入式(20),即得
(21)
为了将ψ(x,τ)表示成各ψn的线性叠加,可以利用公式
(22)
即得
(23)
其中ψn态所占成分为
(24)
容易验证
(25)
这是总概率守恒的具体体现.
如改变外电场作用时间τ,则每当
τ=k2π/ω, k=1,2,3,…
在ψ(x,τ)中,各激发态(n≥1)成分为0,基态(ψ0)成分为1.每当
τ=(2k+1)π/ω, k=0,1,2,…
ψ(x,τ)中基态成分取最小值,ψn态成分为