题目内容
（请给出正确答案）
[单选题]
设A, B均为n阶实对称矩阵, 如下叙述正确的是（).
A.若A与B相抵, 则A与B 相似
B.若A与B相似, 则A与B合同
C.若A与B合同, 则A与B 相似
D.若A与B相抵, 则A与B合同
答案
由A正定，有可逆矩阵Q，使Q T AQ=E.由于Q T BQ仍为实对称矩阵，所以有正交矩阵R，使R T (Q T BQ)R=D=diag(λ 1 ，λ 2 ，…，λ n )为对角矩阵，其中λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 为实对称矩阵Q T BQ的全部特征值.令P=QR，则因可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，知P为可逆矩阵，且有 P T AP=(QR) T A(QR)=R T (Q T AQ)R=R T ER=E P T BP=(QR) T B(QR)=R T (Q T BQ)R=D=diag(λ 1 ，λ 2 ，…，λ n )$由(1) 可得 A=(P T ) -1 EP -1 =(p -1 ) T p -1 ， B=(P T ) -1 DP -1 =(P -1 ) T DP -1 ， (其中D为对角矩阵) 令M=P -1 ，则M可逆，且使A=M T M，B=M T DM，故(2) 得证.
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