叙述并证明二元函数极限的唯一性定理

[证明] 只需指出f在(0，0)处连续，并假定f(0，0)=0．反证法．若f在点(0，0)处不连续，则存在ε 0 ＞0，以及点列{(x n ，y n )}：x n →0，y n →0(n→∞)，使得|f(x n ，y n )|≥ε 0 (n∈N)．由(i)知，存在δ＞0，使得|f(x，0)|＜ε0/2(|x|＜δ).由此知存在N，使得 |f(x n ，0)|＜ε 0 /2 (n＞N，|x n |＜δ). 然而，对每个n，f(xn，y)是y的连续函数，因此根据中值定理，存在y' n ：0＜y' n ＜y n ，使得 |f(x n ，y' n )|-nε 0 /(n+1)． 由于y n →0(n→∞)，故y' n →0(n→∞)，故点集 E={(x n ，y' n )：n≥N}∪{(0,0)} 是紧集，依题设知f(E)是紧集，可是我们有 f(E)={nε 0 /(n+1):n≥N}∪{0}， 且ε 0 是f(E)的极限点，矛盾，证毕．