题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
矩阵A,B是同阶的实对称矩阵，则A,B相似的充分必要条件是它们特征值相同.
答案
由已知条件得有正交矩阵T使得T- -1 AT=D其中D是对角矩阵所以A=TDT -1 T为正交矩阵有T ' =T -1 所以A ' =(TDT -1 ) ' =(TDT ' ) ' =T(TD) ' =T.D ' T ' 因为D为对角矩阵所以D ' =D．所以A ' =T.D.T -1 =A所以A为对称矩阵． 由已知条件得,有正交矩阵T,使得T--1AT=D,其中D是对角矩阵所以A=TDT-1,T为正交矩阵有T'=T-1所以A'=(TDT-1)'=(TDT')'=T(TD)'=T.D'T'因为D为对角矩阵,所以D'=D．所以A'=T.D.T-1=A,所以A为对称矩阵．
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