一雨滴的初始质量为M0,在重力的影响下由静止开始下落，假定此雨滴从云中吸收水汽增大质量，其质

一雨滴的初始质量为m₀，在重力作用下从静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速率的乘积，即，其中k为常数。若忽略空气阻力，试证明雨滴的速率最终成为恒量，并给出最终速率的表达式。

雨滴开始自由下落时质量为m₀，在下落的过程中，单位时间凝聚的水汽质量为n，忽略空气阻力，求雨滴经时间t下落的距离。

如习题5-9图所示，质量为m0的两质点分别固定在x轴上的A(-a，0)、B(a，0)两点，若有一质点m在万有引力作用下从y=3a处由静止开始向原点运动。试求质点经过原点时的速度。

(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？

(2)用m，m0和θ表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比。

从地面发射一初始质量为m0的火箭，喷射的燃料相对火箭的速度为vr。

(1)若其燃料的每秒消耗量可调节，为使火箭在地面以上某个高度保持静止，求与时间t的函数关系。

(2)若其燃料的每秒消耗量正比于火箭的瞬时质量m，即，其中α为正常量。证明当时，火箭将以恒定加速度向上加速，并求出此加速度。

(3)若其燃料的每秒消耗量正比于m0，即，其中k为正常量。试求火箭在任一时刻t的速度。

(4)在(3)的情况下，若火箭本身的质量为m，试求火箭所能到达的最大高度(不计火箭燃料燃尽后的自由上抛过程)。设火箭到达最大高度时仍未脱离地球引力范围，并设此过程中重力加速度g为常量。

(1)子弹射入盘后，盘所获得的角速度;

(2)经过多少时间后，圆盘停止运动(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩;圆盘与水平间的摩擦因数为μ)

建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

(1)设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度，要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速v应为多少？

(2)设火箭飞行中速度为v(t)，质量为m(t)，初速为0，初始质量m₀，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明由此你认为要提高火箭的末速应采取什么措施。

(3)火箭质量包括3部分：有效载荷(卫星)m_p，燃料m_f;结构(外壳、燃料仓等)m_s，其中m_s在m_f+m_s中的比例记作λ，一般λ不小于10%。证明若m_p=0(即火箭不带卫星)，则燃料用完时火箭达到的最大速度为v_m=-ulnλ。已知目前的u=3km/s，取λ=10%，求v_m，这个结果说明什么？

(4)假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以λ和1-λ的比例同时减少，用动量守恒原理证明问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同？

(5)(4)是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。记m_i为第i级火箭质量(燃料和结构)，λm_i为结构质量(λ对各级是一样的)。有效载荷仍用m_p表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k。证明3级火箭的末速计算要使v₃=10.5km/s，发射1t重的卫星需要多重的火箭(u，λ用以前的数据)？若用2级或4级火箭，结果如何？由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。

A.40%

B.30%

C.20%

D.10%