试证明： 设{fn（x}}是R1上非负渐降连续函数列．若在有界闭集F上fn（x)→0（n→∞)，则fn（x)在F上一致收敛于零．

试证明：

设f₀(x)，f_n(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若f_n(x)在[0，1]上依测度收敛于f₀(x)，且有

，

则对[0，1]中任一可测集E，均有

．

试证明：

设定义在R¹上的函数列{f_n(x)}满足(λ_n＞0，n∈N)

(E_n={x∈R¹:|f_n(x)|/λ_n＞1}),

则存在且m(Z)=0，使得(x∈R¹＼Z)．

试证明：

设f(x)在R¹上非负可积，且有

(n∈N).

若令I=(-∞，-1]∪[1，∞)，则f(x)=0，a．e．x∈I．

试证明：

设{f_k(x)}是E上非负可积函数列，若，则

．

设f(x)是E上非负可积函数.令

试证明

设{fn(x)}与{gn(x)}是E上两个可测函数列,并且|fn(x)|≤gn(x),x∈E,n=1,2,...又设试证明

试证明：

设f(x)是[0，1]上非负递增函数，则对[0，1]中的可测集E:m(E)=e，有

.

设f₁(x)，…，f_m(x)是E上非负可积函数，试证明

(i)在E上可积；

(ii)在E上可积．

A.

B.

C.

D.

设f(x)在[a，b)]上连续且非负，试证∫_a^bf(x)dx=0的充要条件是在[a，b]上f(x)≡0．

证 充分性是显然的，以下证明必要性．