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[主观题]
令R是一个有单位元的交换环，N是R的全体幂零元作成的集合．证明：且商环R／N不含非零幂零元．
令R是一个有单位元的交换环，N是R的全体幂零元作成的集合．证明：
且商环R／N不含非零幂零元．
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设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元，α∈K，并令 R[α]={f(α)|f(x)∈R[x]}． 证明：R[x]～R[α]．
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第2题
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元,a∈K,并令R[a/={f(a)|f(x)∈R/x]}证明:R[x]~R[a]
设R是环K的一个子环，二者有相同的单位元，又x是K上未定元,a∈K,并令R[a/={f（a)|f（x)∈R/x]}证明:R[x]~R[a]
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第3题
任意有限群均与 群同构。 2. 已知整数集合 Z 关于加法 : a b = a+b - 4 构成一个群,其单位元
任意有限群均与 群同构。 2. 已知整数集合 Z 关于加法 : a b = a+b - 4 构成一个群,其单位元为 。 3 . n 阶循环群 G = 的全部不同的生成元有 个。 4 .模 4 的剩余类加群 Z 4 有 个不同的正规子群。 5. 模 n 的剩余类环 Z n 为域的充要条件是 . 6 .设 R 为含 4 个元的整环,则其特征为 。 7 .模 6 的剩余类环 Z 6 的全体零因子为 。 8 .设 Z[ i ] 为偶数环,则 =
第6题
设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基(IKaplansky)定理:设R是一个有单位元(用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.
设R是一个有单位元的环,如果R中元素a,b有ab=1,则称b是a的一个逆元，而称a是b的一个逆元.证明卡普兰斯基（IKaplansky)定理:设R是一个有单位元（用1表示)的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元.
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第10题
设R与R'是环，f：R→R'是一个同态映射。证明：（i)Imf=f（R)=（f（a)|a∈R}是R'的一个子环;（
设R与R'是环，f：R→R'是一个同态映射。证明：
(i)Imf=f(R)=(f(a)|a∈R}是R'的一个子环;
(i)I=Kerf={a∈R|f(a)=0}是R的一个子环，并且对于任意r∈R，a∈I，都有ra∈I。
如果R与R'都有单位元。能不能断定f(1R)是R'的单位元1R？当f是满射时，f(1R)是不是R'的单位元？
