证明谐振子相干态可以表示成 （1) 并求出|α〉在x表象中的表示式〈x|α〉（即波函数)．

一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉=．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为

其中|α〉称为谐振子的相干态．

证明是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量，式中A为归一化常数，

一维谐振子的相于态|z〉定义为湮灭算符a的本征态，即

a|z〉=z|z〉，

其中z为复数，而湮灭算符a如下给出

其中，而m、ω分别为谐振子的质量、频率．(1)试求解该相干态的坐标表象波函数；(2)试对该相干态计算Δx·Δp．

方法计算更一般的情况.构造出相应的(无限)矩阵X和P.证明(1/2m)P²+(m2/2)X²=H在这个基中是对角的.你预期它的对角元素是什么？部分答案如下:

设一维谐振子的初态为，即基态与第一激发态叠加，其中为实参数。

(1)求t时刻的波函数。

(2)求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

(3)求演化成所需的最短时间。

试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为中其中为简谐振子的三个(n=0，1，2)最低能量的定态波函数，试求

(1)系数A=？

(2)t时刻的波函数φ(x， t)

(3)t时刻的能量平均值。