对于一维谐振子，求湮没算符a的本征态，将其表示成各能量本征态|n|的线性叠加。

一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉=．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为

其中|α〉称为谐振子的相干态．

证明是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量，式中A为归一化常数，

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

设一维粒子的HaniltonianlI,坐标算符为x。利用利用能量木征态的完全性关系，将用和，表出，其中是能量本征值为，的本征矢。

对于谐振子的能量本征态|n〉，计算x、p、x²、p²的平均值及△x、△p．

以a⁺和a表示Fermi子体系的某个单粒子态的产生和湮没算符，满足基本对易式

以表示该单粒子态上的粒子数算符，求的本征值，并计算对易式，a⁺、[，a]．

给定总能量算符H(r，p)，以E_n、ψ_n表示其本征值和本征函数．态矢量|ψ_n〉简记为|n〉．

按照Heisenberg运动方程，力学量算符A(r，p)的时间变化率为

设体系的Hamilton量H的本征方程H|n〉=En|n〉，E_n与n分别是能量本征值和本征态，n为一组完备的量子数，且态矢量|n〉已归一化，满足〈n|n〉=1．试证明：Hamilton算符可以表示为

对于角动量算符

(a) 在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式。

(b) 定义升降算符利用对易关系证明：若f是L²和L_z的共同本征态，则也是L²和L_z的本征态。

(c) 在球坐标系中，求解L_z的本征方程。

一质量为m，在一维势箱0＜x＜a中运动的粒子，其量子态为

(1)该量子态是否为能量算符的本征态？(2)对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？(3)处于该量子态粒子能量的平均值为多少？