设和是区间上的连续函数,证明:如果在区间上有常数或常数,则和在区间上线形无关

设x(t)和y(t)是区间a≤t≤b上的连续函数，证明：如果在区间a≤t≤b上有≠常数或≠常数，则x(t)和y(t)在区间a≤t≤b上线性无关．(提示：用反证法．)

设f(x)是区间[0,+∞)上单调减小且非负的连续函数.令

证明数列有极限.

设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数，

证明数列{an)的极限存在．

设x(t)是区间a≤t≤β上的连续函数，且当a≤t≤β时,

其中是非负常数。试用逐次逼近法证明;

证明，如果在区间[a，b]上的连续函数f(x)在关于直线对称的点处取相同的值(这时称曲线y=f(x)关于直线对称)，则

设f(x)在闭区间[a,b]上为正值连续函数、证明不等式

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数。

(1) 证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积，等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;

(2)设f(x)在(0，1)内可导，且，证明(1)中的c是唯一的。

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使

设X是区间[a，b]上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x∈X定义‖x‖=|x(t)|；证明‖·‖与‖·‖₁是X上两个不等价的范数．

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数.①试证存在x₀∈(0,1)使得在区间[0,x₀]上以f_x(0)为高的矩形面积等于在区间[x₀,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；②又设f(x)在区间(0,1)内可导，且

f'(x)〉-2f(x)/x，证明①中的x₀是唯一的。