设X为完备度量空间,A是X到X中映射,记若则映射A有唯一不动点.记若则映射A有唯一不动点.

设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．

设X是以ρ为距离的紧空间，T是X到它自身的映射。若对任何x，y∈X，当x≠y时，有

ρ(T_x，T_y)＜ρ(x，y)，

则T有惟一的不动点。

设X是内积空间,X*是它的共轭空间fz表示X上线性泛函fz(x)=＜x,z＞,若X*到X*的映射是一一到上的映射,则X是Hilbert空间.

证明:在完备度量空问X中存立闭球套定理,即若且则存在唯一的反之,若在度量空间X中存立闭球套定理，则X是完备度量空间.

设F是n维欧几里得空间Rⁿ中有界闭集,A是F到自身中的映射,并且适合下列条件:对任何x.γ∈F(x≠γ).有证明映射A在F中存在唯一的不动点.

设X是赋范线性空间,XxX为两个X的笛卡儿乘积空间,对每个(x,y)XxX,定义则XxX成为赋范线性空间.证明XxX到X的映射:(x,y)→x+y是连续映射.

设A是实(复)数域,X为赋范线性空间,对每个(a,x)∈AxX,定义则(a,x)→ax为AxX到X中的连续映射.

设X是距离空间，如果A按照X的距离是完备的，证明：A是X中的闭集。若X是完备的距离空间，是完备的距离空间，是闭的，则A按照X的距离是完备的距离空间。

设F(x)是由距离空间X到距离空间X₁中的连续映射，A在X中稠密，证明：f(A)在F(X)中稠密。

如果x*使得x*=φ(x*)，则称x*为φ(x)的不动点。设x*是φ(x)在[a，b]上的不动点，且对任意x∈[a，b]有0≤φ(x)≤1，试证明：对任意x∈[a，b]有φ(x)∈[a，b]。