设X是以ρ为距离的紧空间，T是X到它自身的映射。若对任何x，y∈X，当x≠y时，有 ρ（Tx，Ty)＜ρ（x，y)， 则T有惟一的不

设(X，ρ)是紧度量空间，T是X到自身的映射且满足条件：对任意x，y∈X，当x≠y时，ρ(Tx，Ty)＜ρ(x，y)．证明T在X上有唯一不动点．

设(X，ρ)是完备的度量空fq．映射T：X→X使

ρ(Tx，Ty)≤α[ρ(x，Tx)+ρ(y，Ty)]，x，y∈X，其中α∈(0，1/2)为常数．证明T存在唯一不动点．

设(X，ρ)为度量空间，T：X→X为映射，若存在常数β＞1使ρ(Tx，Ty)≥βρ(x，y)，x，y∈X，则称T为扩张映射．设X是完备的，证明满的扩张映射必存在唯一的不动点，并举例说明非满射的扩张映射未必有不动点．

设(X，ρ)是完备度量空间，T是X到自身的映射，在闭球B[x₀，r]上有ρ(Tx，Ty)≤θρ(x，y)且ρ(x₀，Tx₀)＜(1-θ)r，其中0≤θ＜1．证明T在B[x₀，r]上有唯一不动点．

设X是自反Banach空间，，又设对任意{x_n}X当时有Tx_n→Tx(n→∞)，证明T是紧算子．

设(X，，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间，拓扑为τ_X，，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)＜∞(注意就是这样的空间)．设(Y，τ_Y)为拓扑空间，f：X→X连续，且对任意零测集A，f^-1(A)可测；g：X→Y可测．证明复合映射gf：X→Y可测．

设T为完备距离空间X到自身的映射，如果

则T存在惟一的不动点。

若对任意t＞0，有f(tx，ty)=tⁿf(x，y)，则称函数f(x，y)为n次齐次函数。试证：若f(x，y)可微，则f(x，y)是n次齐次函数的充要条件是