设（G，*)是群，a∈G，且a是k阶元素，证明a-1也是k阶元素。

设(H，*)和(K，*)都是群(G，*)的子群，证明(H∩K，*)也是(G，*)的子群。

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．

设群G中元素a的阶是mn，且(m，n)=1．证明：在G中存在元素b，c使 a=bc=cb， |b|=m， |c|=n， 并且这样的元素b，c是惟一的．

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设群G～

，且同态核是K．证明：G中二元素在

中有相同的象，当且仅当它们在K的同一陪集中．

设群G是阶为n的有限群，则群G的所有元素的阶都不超过n。()

设群G中元素a的阶为n．证明： as=at

n|(s—t)．

设u是群(G，)中给定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义一个新的运算“*”：对任意a，b∈G，．试证明(G，*)也是一个群。