设X为Hilbert空间,M是X的真闭子空间，证明必含有非零元

设巴拿赫空间E是它的闭子空间L，M的直接和：E=L？M

证明： 存在K＞0，使得对任何x∈E，有‖y‖≤K‖x‖，‖z‖≤K‖x‖，这里y∈L，z∈M，x=y+z。

设X₁和x₂是赋范空间X的子空间，X₁是闭的，X₂是有限维的。证明X₁+X₂在X中是闭的。再推出X的有限维子空间都是闭的。

设是希尔伯特空间，M是的子集，证明：(M^⊥)^⊥是包含M的最小闭子空间。

设Y是赋范空间X的有限维真子空间。证明在X中存在x₁使得‖x₁‖=1且d(x₁，Y)=1，即Riesz引理在r=1时成立。

设X是距离空间，如果A按照X的距离是完备的，证明：A是X中的闭集。若X是完备的距离空间，是完备的距离空间，是闭的，则A按照X的距离是完备的距离空间。

设X是距离空间，F₁，F₂为X中不相交闭集。证明：存在开集G₁，G₂，使得

设M为赋范线性空间E的闭子空间，x₀是M中某个弱收敛点列的极限，则x₀∈M。

设{F_n}(n=1，2，…)是紧空间X中的一列闭集：

且每一个，证明：