设干为代数结构的载体N₃上的等价关系.（1)证明:如果~是关于+₃的同余关系,那么~必定也是

设A和A'是具有非空载体的代数，定义积代数AXA'上的关系如下：

(a)确定何时~是A×A'上的同余关系。

(b)证明如果上述关系~是一同余关系，那么(A×A')/~同构于A.

考察代数+₃是模3加法，×₃是模3乘法，~是N₃中任一等价关系。

(a)试证明如果~对+₃满足置换性质，则对×₃也满足置换性质。

(b)如果~对×₃满足置换性质，则对+₃却未必满足置换性质。

设是一个布尔代数,如果在A上定义二元运算+,·为:证明：是以1为幺元的环。

设均为A上的等价关系,证明也是A上的等价关系,并举例说明为A上的等价关系,而不一定是A上的等价关系.

设代数A=＜ I,+,X＞,I是整数集合。+,×是一般加法和乘法，定义J上的关系为运算+,~是同余关系吗？对运算×,~是同余关系吗？

考虑代数对Ⅰ上如下定义的每一二元关系，证明或否定它是A上的同余关系。

设A=(aij)为3阶非零实矩阵，且已知Aij=aij(其中Aij为aij的代数余子式)，i,j=1，2，3．证明：A可逆，并求|A|与A-1．

设一个布尔代数,如果在B上两个二元运算+和·如下：

证明＜ B,+,·＞是以1为么元的环。

设A={1,2},B是A上的等价关系的集合，

(1)列出B的元素.

(2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.

(3)求出V的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.

(4)说明V是否为半群、独异点和群.

设代数A=＜ I,*＞,其中Ⅰ是整数集合,*是如下定义的一元运算：

~是中的同余关系吗？