求证:P是Hilbert空间X.上的投影算子的充要条件是P²=P且P*=P.

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，

证明 下列命题等价：

(1)P是投影算子；

(2)P²=P且P是自共伴算子；

(3)P²=P，且N(P)上R(P)；

(4)若H是复空间，则还等价于

(Px，x)=‖Px‖²，x∈H

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a)

(b)

设A为Banach空间X上的有界线性算子,λ₀∈p(A),又设{An}为X上y一列有界线性算子,且证明当n充分大后,An也以λ₀为正则点.

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是对称线性算子，则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且

设X和Y是Banach空间,

求证:存在常数c＞0,使得||Ax||≥c||x||对一切x∈X成立的充要条件是分别表示A的零空间和值域.

设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何，当时有．